PRO:ZKSwap团队解读零知识证明算法之Bulletproofs：Range Proof（1）

前言

Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proofsize。根据论文，它有两个方面的应用：

用于rangeproof；用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。Rangeproof

1.预备知识

aL：表示向量{a1、a2……an}

2n：表示向量{20、21…2n-1}

<a、b>:表示向量内积∑ai*bi，结果是一个值

aob：向量对应位相乘，{a1*b1……anbn}，结果是一个向量

以太坊Layer2解决方案Linea推出主网Alpha版本:7月18日消息，由ConsenSys推出的以太坊Layer2解决方案Linea宣布向整个Linea社区开放对Linea主网Alpha版本的访问，开发人员可以访问该Rollup和ETH桥UI以及Infura和MetaMask和Infura中的RPC端点。支持ERC20代币的规范代币桥将在未来几周内推出。[2023/7/18 11:02:18]

2.证明

Alice想要证明?v??=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：

{：V=?grhv?^v??}

public-xwitness-wrelation-R

即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。

Metis：正与Poly Network取得联系，黑客新铸造巨额BNB没有流动性用于出售:7月2日消息，以太坊 Layer 2 网络 Metis 发布公告称，已经注意到 PolyBridge 正在发生的问题，并正在与 Poly Network 团队取得联系，以尽量减少攻击的影响并进一步评估情况。

此外，Metis 表示关于在 Metis 上新铸造的 BNB，没有可用的卖出流动性。Metis Andromeda 上的所有资金都是安全的。[2023/7/2 22:13:00]

令aL为金额v的在范围内的二进制形式，则aL={a1、a2……an}?{0,1}n，且满足<aL,2n?>=v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：

等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)、(4)确保了aL?元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。

中国文物交流中心：对有平台擅自发售数字藏品的情况启动调查核实:金色财经报道，中国文物交流中心通过官微发布声明表示，对有平台擅自以中国文物交流中心指导、监制和监修等名义发售数字藏品的情况启动调查核实，并敦促相关网络平台及时停售下架所涉及到的数字藏品。（新民晚报）[2022/8/11 12:17:51]

3.2n+1个约束转换成1个约束

=>预备：从Zp?中任意选择一个数y，则b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分条件；因为当b!=0n，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么验证者愿意相信b!=0n?。

利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：

验证者随机选取一个数y发送给证明者证明者要证明：

菲律宾计划推出数字身份系统:近日，菲律宾财政部长Benjamin Diokno表示，菲律宾政府正在积极推进菲律宾身份识别系统（PhilSys ID）研发。他指出，随着《金融产品和服务消费者保护法》正式获批，菲律宾银行（BSP）能够更好地处理网络安全问题，提升数字金融领域的消费者安全水平。菲律宾政府希望通过这场技术革新，在2023年将其国内一半的零售支付数字化，并将70%的菲律宾成年人纳入正规金融服务系统。他还补充道，PhilSys ID系统还将协助菲律宾税务总局（BIR）和海关局（BOC）实现税收系统数字化，推动“电子政务”革新。（未央网）[2022/8/4 2:58:28]

同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了aL?元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：

验证者随机选取一个数z发送给证明者证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：z2**<aL、2n?>+z*<aL?-1n-aR、yn>+<aL、aR?oyn?>=z2?*v(8)

至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积。

4.三个点积优化成1个点积

=>令

L=aL?-z*1n

R=(aR?+z*1n)oyn?+z2?*2n

δ=(z–z2)*<1n,yn?>-z3*<1n,2n?>

5.验证：

证明者把L/R/V发送给验证者；验证者事先算好δ验证者根据L算出来aL，根据<aL,2n?>=v算出v验证者根据L、R、v、δ验证等式<L,R>=z2?*v+δ因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?。

但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。

6.一个零知识证明协议

由于L、R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子sL、sR来隐藏aL，aR。如公式(10)(11)所示：

此时，定义公式(12)

可以看出系数t0是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：

t0?=<L,R>=z2*v+δ

因此，问题由证明：

<L,R>=z2*v+δ

转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x),r(x),t(x)满足关系：

<l(x),r(x)>=t(x)

多项式值l(x),r(x),t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x)well-formed，即：

需要校验：

=>当且仅当l/rwell-formed，等式成立

为了保证t(x)well-fromed，即：

t=t0?+t1x+t2x2

需要校验：

=>?当且仅当t和τx?welle-formed，等式成立

具体的协议流程图如下图所示：

总结

从上述流程可以看出，一次rangeproof，证明者需要发送总共**{l/r/t/τx?/μ/T1?/T2/A/S}**个元素给验证者，总共2n+3个Zp元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))。

附录

Bulletproofs论文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611

标签：PROProofROOMETTrapeza ProtocolRugProofEvident Proof Transaction TokenTTX Metaverse

BNB价格热门资讯