ERK:一文详解多项式承诺：如何重塑整个区块链？

不同多项式承诺方案列表

上表中，FRI是Starkware采用的多项式承诺方案，可以实现量子级别的安全，但证明的数据量却是最大；IPA是Bulletproof和Halo2零知识算法默认的多项式承诺方案，验证时间相对较长，采用的项目有门罗币，zcash等，前两者是不需要初始可信设置的。由上图可以看出在证明大小与验证时间上，KZG多项式承诺的优势比较大，KZG承诺也是目前应用最广的一种多项式承诺方式。但KZG是基于椭圆曲线，配对函数，需要初始可信设置的。ETH升级路线与多项式承诺的关联

在ETH相关生态及其未来升级路线中，都可以看到多项式承诺的踪影。

TheMerge：

现时的以太坊主链和BeaconChain将会合并，原本的PoW(工作量证明)共识将会转变成PoS(权益证明)。TheSurge：

美国共和党议员Thompson正在准备一项新的加密法案:金色财经报道，美国共和党众议员 Glenn Thompson (R-PA) 表示，准备于本周在议院提出他的加密货币法案，这份数字资产市场结构法案由Thompson和国会议员Patrick McHenry领导，并得到了国会议员French Hill 和Dusty Johnson的支持。该法案于6月2日首次提交下议院进行初步审查，随后计划于7月进入投票阶段。Glenn Thompson认为，最近的Ripple裁决将有助于争取民主党对该法案的支持，国会应该介入并提供确定性和清晰度。[2023/7/19 11:03:21]

添加DAS，极大的提高ETH的扩展性，通过Danksharding增强rollup性能。TheVerge：

引入Verkle树(VerkleTrees)的设计来优化以太坊上的数据存储。ThePurge：

通过剔除历史数据和消除技术债务，验证者不再需要使用大量硬盘空间去进行验证工作。TheSplurge：

四个不同部分升级后的协调，旨在减少错误(Bugs)的出现和确保网络能畅顺运作，还有就是EVM改进和添加账号抽象模型等。其中TheSurge升级将借鉴多项式承诺技术实现数据可抽样性功能，TheVerge升级将利用多项式承诺来优化其数据结构，ETHL2的zkrollup也都采用了多项式承诺来实现其零知识证明带来的性能拓展。什么是KZG多项式承诺

Ark Invest：比特币已到重要转折点:6月27日消息，Cathie Wood旗下Ark Invest在周一的一封电子邮件中表示，贝莱德对现货比特币ETF的申请可能是比特币获得机构接受的重要转折点，贝莱德决定申请比特币ETF表明，大型机构参与者对数字资产的长期前景持乐观态度。[2023/6/27 22:01:41]

此文这里只介绍较好理解的KZG多项式承诺，KZG多项式承诺也被称为卡特多项式承诺方案，是Kate，Zaverucha和Goldberg一起发表的。在一个多项式方案中，证明者计算一个多项式的承诺，并可以在多项式的任意一点进行打开，该承诺方案能证明多项式在特定位置的值与指定的值一致。之所以被称为承诺，是因为当一个承诺值发送给某对象(验证者)时，证明者不可以改变当前计算的多项式。他们只能够对一个多项式提供有效的证明；当试图作弊时，它们要不无法提供证明，要不证明被验证者拒绝。KZG数学原理

详细可参考QiZhou博士在DappLearning讲解的关于KZG视频。在理解KZG之前，可以先了解一下多项式、群、环、域、椭圆曲线、生成元、配对公式、朗格朗日插值等数学定义。

具有可信设置的多项式承诺

哈萨克斯坦总统托卡耶夫出席Binance哈萨克斯坦签字仪式:金色财经报道，Binance创始人CZ在社交平台分享将于哈萨克斯坦推出数字资产平台签字仪式合影并表示，从左至右是：我，哈萨克斯坦总统托卡耶夫以及哈萨克斯坦数字发展、创新和航空航天工业部部长Bagdat Mussin。[2023/6/22 21:54:43]

单个证明

卡特证明单个数据的公式推衍如下，由于椭圆曲线群只支持加法同态，无法支持多项式之间的乘法，这是就需要通过配对函数解决，

由于椭圆曲线群并不支持运算多项式之间的乘法运算，所以此时得采用配对函数去解决

批量证明

具体应用场景

多项式承诺应用方向总结起来可以分为3大类数据可用性数据结构优化零知识证明系统1.数据可用性

报告：BAYC的7天交易量增长1,095%疑似包含清洗交易:金色财经报道，根据DappRadar最近的一份报告，Bored Ape Yacht Club (BAYC) 的7天交易量惊人地增长了1,095%，达到2,190万美元。对BAYC最近交易量激增的更深入分析表明，清洗交易对该指标的增加做出了重大贡献。报告指出，当交易者通过在他们之间交易资产来创造人为的交易量时，就会发生洗盘交易。随着Blur市场代币空投第2季的临近，这种做法变得更加普遍。因此，NFT做市商正在战略性地利用积分收集机制来最大化未来的利润。在BAYC的案例中，只有大约30只独特的BoredApes参与了这些清洗交易。然而，这些销售额的很大一部分归因于鲸鱼钱包，这表明他们的账户之间存在潜在的交易活动，但还需要进一步验证。此外，报告指出，随着Blur的NFT点对点借贷协议的出现，Bored Apes作为抵押品的资格增加了他们的吸引力，触及积分收集和抵押品的交叉点。[2023/5/30 9:49:29]

DAS核心目的：数据缺失则无法通过大多数节点抽查尽力做到：占用带宽小，抽样过程所需计算量小纠删码

纠删码会增加额外数据块，这种情况很容易通过抽样调查发现，从而提升安全性。以上图为例，有4个数据，一次只能抽样一个，假设一个数据有问题，每个用户抽样发现错误的概率是1/4，但是加入两数据块后，还是一个数据有问题，用户抽样发现的概率可以高达1/2。这样就能大幅提升安全性。KZG也可实现纠删码，利用拉格朗日公式：比如把(0,3)，(1,6)带入公式可得，y=3x+3y1，y2可以理解为要保存的数据，对应点(3,12)等等，其中y值可以作为纠删码数据，其中任意两个点都可以推出原多项式公式系数。

加密货币对冲基金Pantera Capital的CFO即将离职:金色财经报道，据知情人士透露，加密货币对冲基金和风险资本投资者Pantera Capital的首席财务官Ryan Davis即将离职。在寻找永久性替代者期间，Pantera战略顾问Matt Gorham将接替他的工作，他补充说，在临时过渡期间，戴维斯将继续留在Pantera。[2022/9/14 13:27:47]

不同数据可用性项目组成Celestia=Tendermint(cosmos)+2d纠删码+欺诈证明+Namespacemerkletree+IPFS基础设施PolygonAvail=Substrate(Polkadot)+2d纠删码+KZG多项式承诺+IPFS基础设施ETHprotoDankSharding=Blobs数据+2d纠删码+KZG多项式承诺+ETH基础设施EIP-4844升级将在TheMerge之后的下一个以太坊分叉升级中引入“proto-danksharding”并添加blob交易类型，这有望将第2层Rollup的可扩展性提高，同时为实现完全分片铺平道路。BlobTransaction增加一种新的交易类型，这种交易包含额外的存储空间——BlobsBlob开始只有128KiB的存储空间一个交易最多包含2个Blob，即256KiB一个Block最多包含16个，即2MiB；Target是8个，即1MiBBlob以KZGCommitmentHash作为Hash，用于数据验证，作用和Merkle类似节点同步链上的BlobTransaction后，Blob部分会在一段时间后过期删除

L2需要通过更新目前在L1的合约，以支持DankSharding。Celestia通过欺诈证明实现。当见证人发现数据没有被正确采用删码技术，那么这个人就会将欺诈证明提交从而来提醒其他节点。但是这里需要最少诚实假设和同步假设。protoDanksharding后的以太坊和PolygonAvail则采用了KZG多项式承诺（KZGcommitments)的方法。KZG多项式承诺方案，理论上要优于欺诈证明方案，带宽需求更小，抽样所需计算量也更小，也免去了欺诈证明中的包括少数诚实假设和同步假设等的安全假设。未来ETH也有意引入抗后量子密码学(参考stark，采用哈希，不在使用椭圆曲线作为基础)，避免量子计算机攻击。2.数据结构优化VerkleTree

VerkleTree的概念在2018年推出，作为ETH升级的一个重要部分，其相比于MerkleTree，在Proof的大小上，有着很大的提升；对于规模在十亿级别的数据，MerkleTree的proof大约需要1kB，而对于VerkleTree，它将小于150Bytes。与MerkleTree一样VerkleTree也能实现ProofofInclusion，而且只需KZGroot和Data就能验证，不需要额外的Proof，更省带宽。1.需求：StatelessClient节点不存完整的StateTree，只获取需要的State来验证BlockPortalNetwork对StateTree的PoI有更高的性能要求2.回顾DataAvailability里的KZGcommitment每个leaf都是polynomial上的点constantsizeproof，和leaf数量无关

3.VerkleTree

在不同树结构中构建证明，更新证明，以及证明所需的复杂度：

Verkle方案不需要以太坊客户端下载完整的状态数据，使得ETH验证者轻节点成为可能(甚至可支持手机运行)，多项式承诺需要的证明空间复杂度大幅降低，带宽量需求量也大幅减少。3.零知识证明系统

早期zk技术属于线性PCP类。除要求可信设置外，主要缺点是如果需要为不同的计算提供证明，都需要一次新的设置。近期zk技术PIOP类支持通用初始设置和透明设置。新的zk证明系统通常可以描述为PIOP+PCS。前者可被视为是证明者用来说服验证者的约定程序，而后者使用数学方法确保该程序不会遭到破坏。项目方可以按需修改PIOP，且可以在不同PCS中进行选择。

由Amber文章里的图可以看到zk系公链项目采用KZG方案的最多，有PloygonHermez，Scoll，Zksync2.0，Aztec，Aleo，Manta，以太坊基金会支持的PSE也采用的KZG方案。而Starknet，Risc0，PolygonMiden采用的是FRI方案，PloygonZkvm(Hermez)则是FRI与KZG的结合。值得一提是，一些新的零知识证明系统支持多项式承诺方案的切换，KZG未来也可以切换成其他多项式承诺方案。总的来说，多项式承诺正在重塑整个区块链的架构，不论是在链的数据结构优化上，模块化区块链的数据可用性上，还是零知识证明系统上都将大有作为。其他地方是否还存在应用场景也是非常值得探索与跟进的。原地址

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