WAM:硬核：深入分析 TWAMM 做市商的数学原理

从数学角度论证和解释 Uniswap 创始人与 Paradigm 研究团队设计的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。

最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 与 Uniswap 创始人 Hayden Adams 一起合作设计了一个全新的做市模型「时间加权做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根据其发表文章介绍，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大额订单，工作原理是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，在一定时间内使用嵌入式 AMM 平滑地执行这些交易。

关于 TWAMM 的虚拟交易所涉及的数学，Dave White 在文中并没有多费笔墨，只在最后给出了非常简单的数学结论，这对于理解 TWAMM 的数学原理非常不利。本文将重点对 TWAMM 的数学原理进行严格的论证和解释，至于 TWAMM 模型详细的设计原理，可以前往 Paradiagm 官网查看，本文不再做详述。

ParaSpace已向此前事件受损用户空投ParaVault NFT:4月8日消息，ParaSpace 宣布已向此前事件中的受损用户空投 ParaVault NFT。

此前报道，ParaSpace 此前表示在其黑客攻击事件中所有受影响的用户都将收到一个 NFT，未来可使用该 NFT 兑换 ParaSpace Token。向 ParaSpace 借贷池提供资金的用户将获得额外的 Token，以弥补协议暂停期间错失的收益机会，ParaSpace 还将引入激励计划。[2023/4/8 13:52:03]

假设 TWAMM 执行大额虚拟交易需要 N 个区块，出售 X 的池子以每区块 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每个区块 yrate 的速率出售。因此，在整个期间售出的 X 总量为 xin=Nxrate，售出的 Y 总量为 yin=Nyrate。

消息人士：瑞银考虑收购瑞士信贷并请求监管机构支持交易:金色财经报道，在瑞士信贷集团宣布将从瑞士国家银行借款500亿瑞士法郎后，据报道瑞银集团正在考虑收购这家银行业巨头。然而，瑞银要求监管机构提供支持，以防止其收购瑞士信贷时遭受任何损失。据熟悉此事的未具名消息人士称，全球最大的私人银行瑞银集团希望监管机构维护这笔交易。[2023/3/19 13:13:01]

同时，我们将此时间段嵌入 AMM 的初始储备 xreserve 和 yreserve 分别表示为 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。

按照 TWAMM 的设计，大额订单是随着区块进行交易的，每个区块出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同时 AMM 会更新 xreserve 和 yreserve 的值，整个过程总共交易 N 次。

Beosin成为BNB Chain Kickstart Program官方安全审计服务商:据官方消息，近日，区块链安全公司Beosin宣布正式成为BNB ChainKickstart Program官方安全审计服务商。据了解，BNB Chain启动的“Kickstart Program”计划，旨在帮助区块链开发人员在业内机构的支持下开始他们的项目。[2023/2/16 12:10:16]

值得注意的是，AMM 的每个区块交易总是遵循恒定乘积做市。

首先，在执行第 n-1 区块的交易后，我们假设此时 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分别为 xn-1 和 yn-1。

富达进军元宇宙：商标申请涵盖NFT、投资服务等:金色财经报道，在成功地将加密货币投资世界引入其客户群之后，富达现在正在元宇宙中探索更多可能性。据商标代理人Mike Kondoudis称，该公司刚刚提交了一系列商标申请，涵盖NFT、NFT市场、元宇宙投资服务、虚拟房地产投资，甚至加密货币交易。[2022/12/27 22:09:14]

接下来执行第 n 区块的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分别向 AMM 输入 xrate 和 yrate，命：

因为 xrate 和 yrate 非常微小，且区块的交易 AMM 遵循恒定乘积做市商，我们可以得到，

币安正申请菲律宾牌照以进军东南亚市场:6月8日消息，币安目前正在菲律宾寻求虚拟资产服务提供商(VASP)和电子货币发行机构(EMI)的许可证，以进军东南亚市场 。 今日，币安首席执行官赵长鹏会见了菲律宾官员，讨论了在该国扩张的监管和银行支持。

最近，币安在过去6个月内进入了意大利、迪拜、巴林和法国等多个市场。（Coingape）[2022/6/8 4:10:33]

化简，

在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我们进一步可以获得 n 区块的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，

通过观察，我们发现 xn*yn=xn-1*yn-1，这正好符合 AMM 的循恒定乘积做市的前提要求。

令， xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k，这是一个常数。

先对 xn 求得一般公式，并获得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。

yn 的分式线性递归表达式如下：

首先，若 yin 等于 0，xin 不等于 0，则

计算得到，

而，

xin 等于 0，yin 不等于 0 时，讨论同上。

若 xin 和 yin 都不等于 0，对于一般的分式线性递归，我们可以采用不动点的方法求解。

进一步计算，

TWAMM 的基本假设是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，也即是 N 可以取无穷大，这时候可以获得 xN 的极限值。

其中，

相似的，

最后，经过简单的验证 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然满足 AMM 的恒定乘积。

至此，我们完成了 TWAMM 的数学原理严格的论证和解释，并得到了与 「时间加权做市商 TWAMM」 一文完全相同的结论。

撰文：luffy

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