火星链 火星链
Ctrl+D收藏火星链

WEB:用小学数学知识理解 RSA 加密算法的数学原理

作者:

时间:1900/1/1 0:00:00

原文标题:《用吃奶的劲试着解释加密算法的数学原理》

撰文:王建硕

前不久 Jason 同学邀请复旦大学数学系的梅同学给希望了解 Web3 的朋友们上了 5 节硬核的数学课。从自然数开始,一直讲明白了 RSA 非对称式加密的细节。我再回顾一下,尝试解释这个其实还挺复杂的事儿。

(前方数学预警,但是我保证努力限制在小学数学知识范围以内)

3 * 7 算出 21 容易吗?容易。反过来,21 是哪两个数的乘积?也不难,但肯定比算 3 * 7 麻烦。

同理 967 * 379 = 366493 容易。反过来,366493 是哪两个数乘积?难多了。

随着乘积的不断变大,算乘法的难度略微增大,算是这个数是由哪两个数相乘的难度陡峭的增加。

一个一百位数字的数和一百位数字的数相乘,手工算不容易,但对计算机来说不难,结果是一个大约两百位数字的数字。

反过来,把这个 200 位的数字分解?基本上现在能想到的办法就是近似于一个一个的试。别说算乘法了,光从一数到 80 位的数字,按照现在的计算水平,就要消耗掉一个中等恒星一生的能量了。所以,简单结论是,超级大的数字做分解不可能。

就利用这个简单的原理,加上听起来故弄玄虚的欧拉定理,就是一个精妙绝伦的 RSA 加密算法。

这个东西的数学名称叫「取模」,就是算「一个数除以 n 以后的余数是几」。

不过我们不用这个名字。我自己发明的一个混杂了数学和计算机的概念,叫做 n 进制取个位。比如 n = 8,八进制下只取个位,超过的十、百、千位数就直接扔掉,那么 15 这个数本来八进制就是 17,只取个位,就是 7。所以,我们规定,15 在八进制个位模式下,就等于 7。同样,23,31 等,在 8 进制取个位下,都等于 7。这个「等于」,不是绝对数字的相等,而是经过了 n 进制取个位,我们用 ≡ 表示这种特殊的等于(正规说法叫做「模 n 同余」,可以忽略)。

气候金融公司Solid World与Polygon合作开放远期碳流动性资金池:金色财经报道,气候金融公司Solid World在Polygon的支持下,该公司在自动做市商上开放了第一个远期碳资产池。Solid World首席执行官Stenver Jerkku表示,在流动资金池中,项目基本上可以按照自动做市商确定的价格预售未来的碳信用额。[2023/5/19 15:12:14]

这样,如果 n 是 4 万公里的话,数字的世界变成像地球一样,是一个循环。在赤道上可以向东走 1 万公里,和向西走 3 万公里结果是一样的,甚至向西走 7 万,11 万,15 万公里的终点是一样的,就是一圈一圈的转就是了。所以 4 万进制取个位, 1 万 ≡ -7 万 ≡ -11 万 ≡ -15 万。注意,毕竟走 7 万公里和走 11 万公里不相等 ( = ),但是在地球赤道上走,他们的效果相等 ( ≡ )。

例子:比如在 20 进制取个位下,3 * 7 的结果就是 1 (本来是 21,结果走过头了, 又绕回来,回到了 1 )。

这有啥用呢?神奇的事情在于,在 20 进制取个位下,任何数乘以 3 再乘以 7,就相当于乘以 1,就是这个数本身!

比如 12 * 3 = 36 ;36 % 20 = 16; 16 * 7 = 112; 112 % 20 = 12

Web3内容分发与版权NFT交易平台Read2N宣布将使用Greenfield作为存储基础设施:2月17日消息,版权治理NFT交易平台Read2N宣布将使用BNB Greenfield作为存储作者作品、用户阅读数据及评论、作品版权治理DAO讨论区内容的基础设施。

Read2N是一个文学作品分发平台+内容资产交易所,帮助文学创作者发行版权治理NFT,并提供NFT交易/租赁服务的交易平台。目前日交易额超过10万美元。[2023/2/17 12:13:54]

变回原来了。神奇吗?

在 20 进制取个位下,你把一个数乘以 3,我不用除以 3,而是继续乘以 7 ,就是原来那个数。不仅仅是 7,我把乘 3 的数字乘以 67,127,或者 187。。。。它都会回到原来那个数,只是转的圈数多了些。

这就使得,如果两个数在一个 n 进制取个位下乘积为 1,这两个数不就是一个很好的加密和解密的工具吗?

比如数字大一点,在 366492 进制取个位下,任何数乘以 967 得到的数再乘以 379,就是它本身。

如果我把 e = 967 当做公钥,d = 379 当做密钥,我只需要告诉别人( e = 967, n = 366492)这两个数字,别人乘积以后交给我,我再乘以 d ,然后。。。。

不过有一个小问题,如果给出了(e = 967, n = 366492)这两个数,别人除以 e 不就得到了我的秘钥 d 吗?毕竟,你可以算乘法,别人就可以算除法,而且难度差不多。我们把这个办法成为露馅儿加密法。

上海银行成功落地首个数字人民币发放贷款场景:金色财经报道,据上海国资发布,近日,上海银行成功落地全行首笔使用数字人民币进行贷款发放的场景应用,在该场景下,上海银行为企业提供1000万元贷款并使用数字人民币,通过受托支付的方式完成贷款发放。上海银行已通过城银清算接入人民银行数字货币研究所搭建的数字人民币互联互通平台,实现央行数字人民币APP中各运营机构的个人数字钱包与上海银行银行卡的兑出兑回、账户绑定、信息查询、快捷充值等服务功能。[2022/11/25 20:46:08]

接下来要做的事情,就是想办法把这自己的密钥藏起来,让别人拿到 n 进制数,还有公钥 e,没有办法算出我的密钥,但是依然可以用 e 加密,我可以用私钥 d 解密不就好了?

我们引入 φ(n) 。它的定义可厉害了,是「小于 n 的正整数中和 n 互质的数的个数」。这个定义忽略就好,只要知道,如果 n 是两个素数 p, q 的乘积的话, φ(n) = (p-1)(q-1)。

欧拉发现了一个惊天大秘密,居然在 n 进制取个位下,如果 m 和 n 互为质数,m 的 φ(n) 次方 居然等于 1:

m ^ φ(n) ≡ 1

两边都取 k 次方:

m ^ (k * φ(n)) ≡ 1

两边都乘以 m :

m ^ (k * φ(n) + 1) ≡ m

GuildFi宣布推出Marketplace项目Morroc:6月29日消息,Web3游戏社区GuildFi宣布推出Marketplace项目Morroc。据悉,Morroc是第一个混合游戏化市场,包含Web2和Web3项目,将首先在测试阶段推出,用户可以要求享有特权。[2022/6/29 1:38:26]

k * φ(n) + 1 是啥意思?就是这是一个「除以  φ(n) 余数为 1 」的数字。也就是说,只要找到 e*d 这两个数,使得他们的乘积除以 φ(n) 余数为 1 就好。这个好找,有一个叫做辗转相除法的方法,不过这里先略过。我们一般常常把 e 固定的设为 65537,然后就可以找到一个满足的 d。

最后,也就是最惊艳的一步,如果我们能够找到这样的 e, d,我们把 e 和 n 告诉整个世界,让他们在 n 进制取个位下,把要加密的数字 m 取 e 次方发给我,我对这个数再进行 d 次方,我就能得到 m。

(m ^ e) ^ d ≡ m

到现在大家应该已经无一例外的晕厥了。这很正常。我们再理一下就清楚了。

就是说,如果我能无论用什么方法,找到一个进制 n,在这个 n 进制取个位下,能够找到两个数字 e 和 d,e 公开给整个世界,d 留给自己,同时还能让任何数字 m 的 e 次方的 d 次方还等于原来这个 m,加密解密算法不就成立了吗?就跟最早我说的那个乘以一个数,再乘以另一个数,总等于原来的数字一样?

灰度推出首个欧洲ETF,将提供数字经济公司投资敞口:5月16日消息,灰度宣布推出首个欧洲 ETF(交易所交易基金) Grayscale Future of Finance UCITS ETF,将在伦敦证券交易所上市交易所等欧洲交易所上市。GFOF UCITS ETF 跟踪 Bloomberg Grayscale Future of Finance 指数表现,提供数字经济公司的投资敞口。Bloomberg Grayscale Future of Finance 指数包括参与数字经济的资产管理公司、交易所、经纪公司和财富管理公司;提供技术解决方案以促进数字经济发展的组织;直接参与挖矿、能源管理和为数字资产生态系统提供动力的公司。[2022/5/16 3:19:28]

但露馅儿加密法两个乘法的算法的明显的漏洞在于,e 和 n 给出了,d 也就给出了。

在这个新的算法中,e 给出了。n 给出了,但 e * d  ≡ 1 的进制,不是简单地 n,而是和 n 同源,但是不同的 φ(n) 。正因为进制改了,所以也不能用露馅儿加密法里面的两次乘法,而借用欧拉的惊天发现,做了两次幂运算。

从 n 能不能算出来  φ(n) 呢?如果有能力分解 n 当然 φ(n) 唾手可得,把两个因子各自减一再乘起来就好。

但是从 n 能不能轻易地找到 p 和 q 呢?根据最早的大数不可分解,要想找到 100 个太阳烧掉都不够用,p 和 q 好像是脚手架,算出来 n,算出来 φ(n) 就扔掉了。 那么  φ(n) 就是一个秘密。如果 φ(n) 是个秘密,有了 e 也找不到 d。

所以,整个算法是无比精巧的安全。

我们找两个脚手架数字:p = 2, q = 7,算出 n = 2 * 7 = 14,  φ(n) = (2 - 1) * (7 - 1) = 6 。那两个脚手架数字 p, q 在算出 n 和 φ(n) 后就退休了。找在 6 进制取个位下,e * d ≡ 1 好办,e = 5, d = 11 就行 ( 5 * 11 = 55 = 6 * 9 + 1 ≡ 1)。

这样,公布给全世界的数字就是 (e = 5, n = 14),保留给自己的就是 d = 11。φ(n) 千万也不能告诉任何人。φ(n) 就如同总统,n 如同他的影子。世界只能看到他的影子,看不到总统本人。好在影子在世间行走不怕暗杀,总统躲在防空洞里是安全的。

我们来试一下,在 14 进制个位模式下,如果要传递的数字 m = 2,别人把 m ^ e 算出来,就是 2 ^ 5 = 32 = 2 * 14 + 4 ≡ 4

现在,4 就可以大大咧咧的在互联网上随便传输了。只有我知道有一个秘密是 11 。我拿到以后,算 4 的 11 次方,4 ^ 11 ≡ 4,194,304 % 14 ≡ 2 ,不就是别人要给我的那个数字吗?前提是,我们认为 别人从 n = 14 无法分解成 2 * 7,否则就全露馅了。

14 肉眼可以看出等于 2 * 7。

这个数 n:

8244510028552846134424811607219563842568185165403993284663167926323062664016599954791570992777758342053528270976182274842613932440401371500161580348160559 

是 p

91119631364788082429447973540947485602743197897334544190979096251936625222447

乘以 q

90480063462359689383464046547151387793654963394705182576062449707683914045697

计算机眼也看不出来。 p 和 q 如同两位门神,死死的守住了获取它们后面的秘密的入口。但是从 p,q 算出 φ(n) ,以及 e,d,却都是举手之劳。

如果知道 n 的组成是 p,q,我们按照上面的算法可以选出来 e 和 d:

65537

2545549238258797954286678713888152865623498585866759298032549597771444725977268190722532488574321463855938811396613702406984581214587037347197409962813953

也就是说,这个游戏,任何人要把一个数字 m 传给我,只需要在 n 进制取个位下,对它进行 65537 次幂(m ^ 65537),我再把它进行 d 次幂,我就拿回了原来的数字。

这个精巧的算法,就是 RSA 加密算法。

希望有人能够看明白。我真的是尽力了。

Foresight News

企业专栏

阅读更多

金色早8点

Bress

PANews

链捕手

财经法学

成都链安

Odaily星球日报

区块律动BlockBeats

标签:BSPNBS数字人WEBBSP价格nbs币官网数字人民币全面失败web3.0币种有哪些

以太坊价格热门资讯
ATS:NFT 的未来:对真实用例的可视化探索

在本文中,让我们来探讨正在构建的 NFT 的真实用例,以及它们将来的用途。 了解炒作周期 你听说过盖特纳炒作周期吗?它表明,颠覆性技术需要经历 5 个关键阶段:1. 技术触发:潜在颠覆性技术的出.

1900/1/1 0:00:00
LEG:借区块链之名“挖矿” 一网络团伙被端 涉案14亿元

现代快报讯(通讯员 刘秀明 翁志娟 记者 曹德伟)随着互联网的迅猛发展,网络犯罪日益增多,花样层出不穷。近日,镇江市润州区检察院对一个以涉嫌组织、领导活动罪的团伙提起公诉.

1900/1/1 0:00:00
OSM:仰望 Cosmos 星空的明与暗:全面解析 ATOM 2.0

摘要作为第三代区块链,Cosmos SDK和Tendermint BFT降低了开发和运行公链的门槛.

1900/1/1 0:00:00
DAO:DAO 的代表机制:误读和误用

本文是 Orca 协议对一种正在兴起的 DAO 治理模式元治理委员会的解析。通过与个人代表模式的对比,从提高参与效率、对齐激励和降低法律风险等多个方面,来说明元治理委员会不失为一个有希望的尝试方.

1900/1/1 0:00:00
VES:假期不可错过的10件大事

金色财经报道,美国证券交易委员会已对总部位于百慕大的 Arbitrade Ltd 和总部位于加拿大的 Cryptobontix 及其负责人提起指控.

1900/1/1 0:00:00
NFT:Bankless:一览当下四大生态的文字型 NFT 铸造平台

注:原文作者为 William M. PeasterNFT 可以是任何东西 -- 艺术、数字土地、音乐、视频,只要你说得出来的都可以.

1900/1/1 0:00:00