比特币:密码专栏 | 动手计算双线性对（下）

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时间：1900/1/1 0:00:00

前言

上一篇文章中，我们在"F_101"上找到了17个点满足椭圆曲线方程，他们构成一个循环。那么在"F_101"中元素作为坐标的点中还有没有其他的点也满足方程呢？换句话说，上篇文章列出的17个点是不是就是满足方程的全部的解呢？并非如此，比如可以验证(3,38)也满足椭圆曲线的方程，但是他不是上面17个点中的一个。另一个子群

实际上，我们甚至可以通过将(6,44)作为生成元来得到一个102个元素的循环群，这个循环群涵盖了曲线在"F_101"上的全部点。但是，曲线在"F_101"上的循环周期为17的循环群却只有中篇列出的一个，也就是说在"F_101"上讨论的话，循环周期为17的点已经被我们全部找到了。

在中篇中，我们也提到数域的扩张会直接影响我们需要讨论的点的多少，那么如果我们对"F_101"进行扩张，是否能够得到更多的循环周期为17的点呢？METASTATE的博客中给出这样一个例子，我们将用这个例子说明这个命题的真假。首先我们选择满足j^2mod17=15的j用于对"F_101"的扩张，过程就像我们上一篇文章中进行的那样，扩张后的域记为“F_101的二次扩域”。在这个扩张下，我们可以找到另一个循环周期为17的群，下面的表格列出这个群的全部元素：

卫士通：后期数字货币推广中必然会用到密码技术及相关产品，公司将积极应对新业务带来的市场需求:10月19日消息，卫士通在投资者互动平台表示，数字货币是金融体系的重大改革信号，目前其运行、管理体系属于高度机密。在后期数字货币推广中必然会用到密码技术及相关产品，公司将积极应对新业务带来的市场需求，并做好技术储备。（每日经济新闻）[2021/10/19 20:40:41]

我们随机选择(66,0+23j)这个元素来验证其满足曲线方程：

左侧：y^2mod101=^2mod101=23×15mod101=42

右侧：x^3+3mod101=41^3=3mod101=42

左侧等于右侧，验证完毕。

德国检方没收欺诈者超 1700 枚比特币，但无法破解钱包密码:据路透社报道，德国检方从一名欺诈者手中没收了价值超 1700 枚比特币，但始终无法破解钱包密码。该男子涉嫌在他人电脑上安装秘密软件帮助自己挖矿，因此被控罪入狱服刑 2 年多，并被没收挖矿所得比特币。检察官 Sebastian Murer 表示 ,「我们问过他，但他没说，也许他不知道。」[2021/2/7 19:07:37]

在发现通过域扩张后还能找到更多的17阶点后，我们不禁会想：

继续对”F_101的二次扩域”进行扩张，能否找到更多的17阶点呢？

或者是：为了找到全部的17阶点，我们需要对F_101进行几次扩张呢？

嵌入度其实就是描述这个问题的一个概念。E是定义在F_101上的椭圆曲线，我们已经有一个包含n=17个点的子群，我们称这个子群的嵌入度是满足17整除q^k-1的最小的k。在这个例子中，k=2。计算嵌入度的价值在于事实证明，当对F_101进行扩张以期其上的椭圆曲线包含全部17阶点时，最小的扩张次数就等于嵌入度。也就是说在”F_101的二次扩域”上，我们已经找到全部的17阶元素。

HyperPay钱包引入基于ECDSA算法的门限签名密码技术:据官方消息，HyperPay钱包日前引入了基于ECDSA算法的门限签名高级密码技术，并在高安全硬件密码机中应用，升级钱包链上链下服务安全性能。该套技术方案通过多台HSM加密交互，联合算出最终签名，避免链上多签漏洞，降低链上多签手续费。

这是业内首次实现将TSS技术和HSM技术结合，打造出最高安全等级的托管产品和钱包产品。该技术的应用，可有效规避类似2017年Ethereum爆发的因多签合约漏洞造成的上亿美金损失的案例。[2020/7/22]

Millier循环

下面给出计算双线性映射的Millier算法，当计算e(P,Q)时，该算法根据P的坐标创建一个二元多项式，然后将P坐标的x和y分量带入求值：

声音 | 信息安全研究员：华硕内网密码遭员工泄露至GitHub:据美国科技媒体TechCrunch报道，一名信息安全研究员两个月前向华硕发出警告称，有华硕员工在GitHub代码库中错误地发布了密码。这些密码可以被用于访问该公司的企业内网。据报道，有问题的代码库来自华硕的一名工程师，他将电子邮件帐号密码公开已有至少一年时间。目前，尽管GitHub帐号仍然存在，但这个代码库已被清理。在媒体向华硕告知此事的一天后，包含密码的代码库被下线并清理。不过华硕发言人表示，该公司“无法证实”研究员在邮件中的说法是正确的。“华硕正在积极调查所有系统，消除我们服务器和支持软件的所有已知风险，并确保没有数据泄露。[2019/3/28]

METASTATE的博客中作者已经计算了e((1,2),(90,82u))点的结果为97+89j。我们给出另外一个计算的例子，并且稍后通过对比这两个例子的结果说明双线性对的一些属性。

动态 | 黑客冒充加密货币聊天小组成员，窃取用户密码:据英国SC媒体报道称，安全研究人员发现了MacOS恶意软件攻击，目标是谈论加密货币的Slack和Discord用户。这些攻击通过模仿加密货币相关聊天工具中的管理员或“关键人物”，然后分享给用户下载并执行恶意二进制文件的“小片段”。英国SC媒体公司指出，这些恶意软件可以窃取用户的密码。[2018/7/3]

其中f_17是二元的多项式，通过一个称为Millier循环的过程我们可以生成该多项式，这个过程类似于计算指数运算时的mul-and-square操作。但是为了更直观的展示原理，我们选择根据上文定义直接展开计算f_17，这会增加一些计算量。

因此我们需要计算

的表达式。通过查询上一篇文章的列表我们可以找出P，±2P，±4P，±8P,±16P的值,其中P=(12，32)=5G：

接下来我们来计算这些直线的方程：

这样我们已经可以计算f_17的结果：

最后我们计算(81+52j)^600

完全解决curve101配对问题

实际上，我们可以计算出GT的生成元e(G1,G2)，也就是e((1,2),(36,31j))，其值为7+28j。这样我们能够完全掌握GT中全部的元素：

可以看到GT也是一个循环群，他其实是在“F_101的二次扩域”上满足方程x^17=1的17个根。根据该表我们不加以计算就可以知道这个配对的任何一个计算结果，例如e((12,32),(36,31u))=e(5G1,G2),因此其值就是上表的第5个元素：93+25j。我们之所以能够完全解决curve101的配对问题，是因为curve101的一系列参数决定其足够简单，而实际零知识证明算法中使用的配对就要复杂很多。例如一些标准中要求其配对曲线的嵌入度至少为12，这意味着GT的元素至少是基础素域的12次扩张！如果其素域特征为常见的256位，那么为了表示一个GT元素就需要256*12/8=384字节的大小。对于任何一个实际使用的曲线，其计算复杂度和规模都使我们当前绝无可能计算出其映射表，这也是离散对数问题困难的所在。

通过系列文章，我们计算了一个简单的配对曲线，加深了对双线性映射的理解。后续，我们继续使用这个配对曲线来讲解和演示零知识证明中Groth16算法的过程和原理，敬请期待。