NAN:白话解析 RSA 加密算法的数学原理

从自然数开始，一直讲明白了RSA非对称式加密的细节。

前不久Jason同学邀请复旦大学数学系的梅同学给希望了解Web3的朋友们上了5节硬核的数学课。从自然数开始，一直讲明白了RSA非对称式加密的细节。我再回顾一下，尝试解释这个其实还挺复杂的事儿。

大数无法分解

3*7算出21容易吗？容易。反过来，21是哪两个数的乘积？也不难，但肯定比算3*7麻烦。

同理967*379=366493容易。反过来，366493是哪两个数乘积？难多了。

随着乘积的不断变大，算乘法的难度略微增大，算是这个数是由哪两个数相乘的难度陡峭的增加。

一个一百位数字的数和一百位数字的数相乘，手工算不容易，但对计算机来说不难，结果是一个大约两百位数字的数字。

反过来，把这个200位的数字分解？基本上现在能想到的办法就是近似于一个一个的试。别说算乘法了，光从一数到80位的数字，按照现在的计算水平，就要消耗掉一个中等恒星一生的能量了。所以，简单结论是，超级大的数字做分解不可能。

就利用这个简单的原理，加上听起来故弄玄虚的欧拉定理，就是一个精妙绝伦的RSA加密算法。

zkSync：实际获得空投者为符合条件的前1万名社区成员，剩余成员可在EthCC后分阶段获得:7月16日消息，zkSync发推表示此次NFT空投完全透明，179,365名合格社区成员中的前10000名获得此次空投，剩余的169,365名社区成员将有资格在EthCC（Ethereum Community Conference）之后的多阶段过程中获得LIBERTAS OMNIBUS NFT。[2023/7/16 10:58:22]

n进制取个位

这个东西的数学名称叫「取模」，就是算「一个数除以n以后的余数是几」。

不过我们不用这个名字。我自己发明的一个混杂了数学和计算机的概念，叫做?n进制取个位。比如n=8，八进制下只取个位，超过的十、百、千位数就直接扔掉，那么15这个数本来八进制就是17，只取个位，就是?7。所以，我们规定，15在八进制个位模式下，就等于7。同样，23，31等，在8进制取个位下，都等于7。这个「等于」，不是绝对数字的相等，而是经过了?n进制取个位，我们用?≡?表示这种特殊的等于。

这样，如果n是4万公里的话，数字的世界变成像地球一样，是一个循环。在赤道上可以向东走?1万公里，和向西走?3万公里结果是一样的，甚至向西走?7万，11万，15万公里的终点是一样的，就是一圈一圈的转就是了。所以4万进制取个位，1万?≡?-7万?≡-11万?≡-15万。注意，毕竟走7万公里和走11万公里不相等(=?)，但是在地球赤道上走，他们的效果相等?(?≡?)。

Loopring L3 上线 Taiko alpha-3 zkEVM 测试网:7月4日消息，Loopring L3 上线基于 zkRollup 的以太坊二层网络 Taiko 的 alpha-3 zkEVM 测试网，此次 L3 智能合约钱包发布将支持兑换和转账功能，已经在 iOS 和 Android 平台上推出。[2023/7/4 22:17:34]

例子：比如在?20?进制取个位下，3*7?的结果就是?1?。

连着乘两个数就是它本身

这有啥用呢？神奇的事情在于，在?20进制取个位下，任何数乘以3再乘以7，就相当于乘以?1，就是这个数本身！

比如?12*3?=36；36%20=?16;?16*7?=112;112%20=?12

变回原来了。神奇吗？

在?20进制取个位下，你把一个数乘以3，我不用除以3，而是继续乘以7，就是原来那个数。不仅仅是7，我把乘3的数字乘以67，127，或者187。。。。它都会回到原来那个数，只是转的圈数多了些。

这就使得，如果两个数在一个?n进制取个位下乘积为1，这两个数不就是一个很好的加密和解密的工具吗？

赵长鹏：资产冻结令仅影响Binance.US，Binance.com不受影响:金色财经报道，币安CEO赵长鹏推特针对SEC申请冻结Binance.US资产一事回应称，如果法院批准该限制令，将只会影响Binance.US。Binance.com将不受影响，资金是安全的。[2023/6/7 21:20:48]

比如数字大一点，在366492进制取个位下，任何数乘以?967得到的数再乘以379，就是它本身。

公钥和密钥

如果我把?e=967?当做公钥，d=379?当做密钥，我只需要告诉别人这两个数字，别人乘积以后交给我，我再乘以d，然后。。。。

不过有一个小问题，如果给出了这两个数，别人除以e不就得到了我的秘钥d吗？毕竟，你可以算乘法，别人就可以算除法，而且难度差不多。我们把这个办法成为露馅儿加密法。

接下来要做的事情，就是想办法把这自己的密钥藏起来，让别人拿到n进制数，还有公钥e，没有办法算出我的密钥，但是依然可以用e加密，我可以用私钥d解密不就好了？

欧拉定理

我们引入?φ(n)。它的定义可厉害了，是「小于?n?的正整数中和?n?互质的数的个数」。这个定义忽略就好，只要知道，如果n是两个素数p,q的乘积的话，?φ(n)=(p-1)(q-1)。

数据：本周7种代币将迎来解锁，释放总价值超4.96亿美元:5月29日消息，Token Unlocks数据显示，本周有7个加密项目将进行代币解锁，总计释放价值超4.96亿美元。

Galxe(GAL)将于5月30日20时解锁586,666.67枚代币，价值约84万美元，占总供应量的0.293%。

Optimism（OP）将于5月31日8时解锁154,618,822.65枚OP代币，价值约2.55亿美元，占总供应量的3.6%。

Hedera (HBAR)将于6月1日8时解锁1,273,353,491枚代币，价值约6838万美元，占总供应量的2.547%。

Acala (ACA)将于6月1日15时解锁27,433,334枚代币，价值约129万美元，占总供应量的2.743%。

1inch(1INCH)将于6月2日8时解锁249,807,669.19枚代币，价值约1.01亿美元，占总供应量的16.654%。

Nym (NYM)将于6月2日8时解锁25,000,000枚代币，价值约493万美元，占总供应量的2.5%。

Sui (SUI)将于6月3日8时解锁61,083,333.36枚代币，价值约6493万美元，占总供应量的0.611%。[2023/5/29 9:48:24]

欧拉发现了一个惊天大秘密，居然在?n进制取个位下，如果m和n互为质数，m的φ(n)次方居然等于1：

RSS3将发布AI开放平台，为开发者提供训练链上数据的GPT模型环境:3月19日消息，Open Web 信息分发协议 RSS3 将发布面向开发者的 Web3 AI 开放平台，为开发者提供训练链上数据的 GPT 模型的环境。基于此环境训练的模型将拥有对去中心化网络中数据和信息的获取、处理、与思考能力。范围涵盖且不局限于 DeFi、NFT、去中心化社交等领域。

此前，RSS3 生态内首款面向 C 端用户的搜索引擎产品 hoot.it 已上线基于 GPT 的 HootGPT，可以为用户提供独特、自然和互动的搜索体验。[2023/3/19 13:13:37]

m^?φ(n)?≡?1

两边都取k次方：

m^?(k*?φ(n))?≡?1

两边都乘以m：

m^?(k*?φ(n)+1)?≡?m

k*?φ(n)+1?是啥意思？就是这是一个「除以??φ(n)余数为1」的数字。也就是说，只要找到e*d这两个数，使得他们的乘积除以?φ(n)?余数为1就好。这个好找，有一个叫做辗转相除法的方法，不过这里先略过。我们一般常常把e固定的设为65537，然后就可以找到一个满足的d。

最后，也就是最惊艳的一步，如果我们能够找到这样的e,d，我们把?e?和?n?告诉整个世界，让他们在?n进制取个位下，把要加密的数字?m?取?e?次方发给我，我对这个数再进行d次方，我就能得到m。

(m?^e)^?d?≡?m

重新梳理

到现在大家应该已经无一例外的晕厥了。这很正常。我们再理一下就清楚了。

就是说，如果我能无论用什么方法，找到一个进制n，在这个?n进制取个位下，能够找到两个数字e和d，e公开给整个世界，d留给自己，同时还能让任何数字m的e次方的d次方还等于原来这个m，加密解密算法不就成立了吗？就跟最早我说的那个乘以一个数，再乘以另一个数，总等于原来的数字一样？

但露馅儿加密法两个乘法的算法的明显的漏洞在于，e和n给出了，d也就给出了。

在这个新的算法中，e给出了。n给出了，但e*d??≡?1的进制，不是简单地?n，而是和n同源，但是不同的?φ(n)?。正因为进制改了，所以也不能用露馅儿加密法里面的两次乘法，而借用欧拉的惊天发现，做了两次幂运算。

从?n?能不能算出来??φ(n)?呢？如果有能力分解n当然?φ(n)?唾手可得，把两个因子各自减一再乘起来就好。

但是从n能不能轻易地找到p和q呢？根据最早的大数不可分解，要想找到100个太阳烧掉都不够用，p和q好像是脚手架，算出来n，算出来?φ(n)就扔掉了。?那么??φ(n)?就是一个秘密。如果?φ(n)?是个秘密，有了e也找不到d。

所以，整个算法是无比精巧的安全。

举例子

我们找两个脚手架数字：p=2,q=7，算出n=2*7=?14,??φ(n)?=?(2-1)*(7-1)=?6?。那两个脚手架数字p,q在算出n和?φ(n)后就退休了。找在?6进制取个位下，e*d?≡?1好办，e=5,d=11就行。

这样，公布给全世界的数字就是(e=5,n=14)，保留给自己的就是d=11。φ(n)千万也不能告诉任何人。φ(n)?就如同总统，n如同他的影子。世界只能看到他的影子，看不到总统本人。好在影子在世间行走不怕暗杀，总统躲在防空洞里是安全的。

我们来试一下，在?14?进制个位模式下，如果要传递的数字?m=?2，别人把m^e算出来，就是2^?5=?32?=2*?14?+4?≡?4

现在，4就可以大大咧咧的在互联网上随便传输了。只有我知道有一个秘密是11。我拿到以后，算4的11次方，4^11?≡?4,194,304%14?≡?2?，不就是别人要给我的那个数字吗？前提是，我们认为别人从n=14无法分解成2*7，否则就全露馅了。

14肉眼可以看出等于2*7。

这个数n：

8244510028552846134424811607219563842568185165403993284663167926323062664016599954791570992777758342053528270976182274842613932440401371500161580348160559?

是p

91119631364788082429447973540947485602743197897334544190979096251936625222447

乘以q

90480063462359689383464046547151387793654963394705182576062449707683914045697

计算机眼也看不出来。?p和q如同两位门神，死死的守住了获取它们后面的秘密的入口。但是从p，q算出?φ(n)?，以及e，d，却都是举手之劳。

如果知道n的组成是p，q，我们按照上面的算法可以选出来e和d：

65537

2545549238258797954286678713888152865623498585866759298032549597771444725977268190722532488574321463855938811396613702406984581214587037347197409962813953

也就是说，这个游戏，任何人要把一个数字m传给我，只需要在n进制取个位下，对它进行65537次幂，我再把它进行d次幂，我就拿回了原来的数字。

这个精巧的算法，就是RSA加密算法。

希望有人能够看明白。我真的是尽力了。

原文标题：《用吃奶的劲试着解释加密算法的数学原理》

撰文：王建硕

来源：ForesightNews

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